1.4.1 图像变换介绍

文档摘要

图像变换介绍常规图像变换如：刚体变换、欧式变换、相似变换、仿射变换、透视变换等，但他们之间的关系和区别经常混淆。因此本文简单的介绍和辨析一下这几种变换的区别与联系：变换 | 矩阵 | 自由度 | 保持性质平移 | [I, t]（2×3） | 2 | 方向/长度/夹角/平行性/直线性刚体 | [R, t]（2×3） | 3 | 长度/夹角/平行性/直线性相似 | [sR, t]（2×3） | 4 | 夹角/平行性/直线性仿射 | [T]（2×3）| 6 | 平行性/直线性透视 | [T]（3×3）| 8 | 直线性一、刚体变换（Rigid Transformation） $$ \begin{bmatrix} x′ \\ y′ \\ 1 \\ \end{bmatrix} =

图像变换介绍

常规图像变换如：刚体变换、欧式变换、相似变换、仿射变换、透视变换等，但他们之间的关系和区别经常混淆。因此本文简单的介绍和辨析一下这几种变换的区别与联系：

变换	矩阵	自由度	保持性质
平移	[I, t]（2×3）	2	方向/长度/夹角/平行性/直线性
刚体	[R, t]（2×3）	3	长度/夹角/平行性/直线性
相似	[sR, t]（2×3）	4	夹角/平行性/直线性
仿射	[T]（2×3）	6	平行性/直线性
透视	[T]（3×3）	8	直线性

一、刚体变换（Rigid Transformation）

\begin{bmatrix} x′ \\ y′ \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R &t \\ 0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosθ &−sinθ &tx \\ sinθ &cosθ &ty \\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix}

刚体变换也叫刚性变换、欧式变换，是最基础的变换形式。其中 R 表示旋转矩阵，是一个正交阵 RR^T=I , t 表示平移向量。

变换形式：旋转和平移
自由度：三个自由度（一个旋转角 \theta ，两个平移向量 t_x,t_y ）
求解方式：需要两组点，四个方程求解
不变量：长度、角度、面积

二、等距变换（Isometric Transformation）

\begin{bmatrix} x′ \\ y′ \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ϵcosθ &−sinθ &tx \\ ϵsinθ &θcosθ &ty \\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix} , ϵ = ± 1

等距变换前后两点之间的距离不变。ϵ = 1 时，等距变换就等价于刚性变换、欧式变换，是保向的；ϵ = −1 时，是逆向的，表示关于 Y 轴对称的反射变换。

变换形式： ϵ = 1 时，旋转和平移； ϵ = − 1 时，旋转、平移和反射（对称）
自由度：三个自由度（一个旋转角 θ ，两个平移向量 t_x,t_y ）
求解方式：需要两组点，四个方程求解
不变量：长度、角度、面积

三、相似变换（Similar Transformation）

\begin{bmatrix} x′ \\ y′ \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sR &t \\ 0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s \cosθ &−s \sinθ &tx \\ s \sinθ &s \cosθ &ty \\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix}

相似变换是在刚性变换的基础上增加一个均匀放缩系数 s 。

变换形式：旋转、平移、放缩
自由度：四个自由度（一个旋转角 θ，两个平移向量 t_x,t_y ，一个放缩系数 s ）
求解方式：需要两组点，四个方程求解
不变量：角度、长度的比例和面积比例

四、线性变换（Linear Transformation）

\begin{bmatrix} x′ \\ y′ \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A &0 \\ 0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix}

线性变换要求变换前后的直线仍是直线，且直线之间的比例保持不变。

变换形式：旋转、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）
自由度：四个自由度（四个线性变换元素 a_{11}, a_{12},a_{21}, a_{22} ）
求解方式：需要两组点，四个方程求解
不变量：长度的比例和面积比例

五、仿射变换（Affine Transformation）

图5. 仿射变换

\begin{bmatrix} x′ \\ y′ \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A &t \\ 0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & t_y \\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix}

仿射变换是线性变换和平移变换的组合，能够保持二维图形的 “平直性” 和“平行性”，但是角度会改变。 A 表示仿射矩阵。

“平直性”：变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧
“平行性”：平行线还是平行线，直线上点的位置顺序不变

变换形式：旋转、平移、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）
自由度：六个自由度（四个仿射矩阵元素 a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} ，两个平移向量 t_x,t_y ）
求解方式：需要三组点，六个方程求解
不变量：平行线，平行线所分割线段长度的比例和面积的比例

六、透视变换（Perspective Transformation）

图6. 透视变换

\begin{bmatrix} x′ \\ y′ \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A &t \\ v &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & t_y \\ v_{1} &v_{2} &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}

透视变换也叫做射影变换（Projection Transformation），是将图像投影到一个新的视平面。其中 v 用于产生图像透视变换。

变换形式：旋转、平移、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）、透视
自由度：八个自由度（四个仿射矩阵元素 a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} ，两个平移向量 t_x,t_y 、两个透视变换元素 v_1,v_2 ）
求解方式：需要四组点，八个方程求解
不变量：长度的交比